В 1965 году в издательстве «Просвещение» вышла книга профессора и историка Ивана Депмана «История арифметики. Пособие для учителей». Это очень хорошая книга. Иван Депман написал немало интересных научно-популярных книг, посвященных математике – «Мир чисел», «Меры и метрическая система», однако именно «История арифметики» переиздается постоянно даже в наше время. Для нас эта книга интересна тем, что в ней наряду с именами великих математиков – Рене Декарта, Пафнутия Чебышева, Леонарда Эйлера, Улугбека – упоминается имя скромного учителя Василия Голубева из города Кувшиново Калининской (в ту пору) области. К сожалению, сам Василий Антонович не увидел этой книги, его не стало тремя годами ранее. Но имя его сохранилось в истории – в истории мировой арифметики!
Даже если вы нетвердо помните школьные уроки арифметики, наверняка вам не надо объяснять, что такое простое число. Это натуральное (то есть целое положительное) число, имеющее только два различных натуральных делителя. Другими словами, число p — простое, если оно больше 1 и делится только на 1 и на p. Все остальные числа называются составными.
Современная теория чисел утверждает, что каждое натуральное число больше единицы представляет собой произведение (сумму) простых чисел. То есть простые числа – своего рода «кирпичики» более сложных составных натуральных чисел. Из таблиц простых чисел можно извлечь статистические данные о распределении этих чисел среди чисел натурального ряда. Из отдельных сотен наибольшее число простых чисел (25) содержится в первой сотне; в первой тысяче их 168, в первом десятке тысяч 1229. Частота простых чисел в дальнейшем в общем убывает, но для отдельных тысяч правило убывания не всегда выполняется.
Изучением свойств простых чисел математики занимаются с глубокой древности! Простых чисел бесконечно много, и этот факт был доказан ещё древнегреческим математиком Евклидом в его «Началах». Впоследствии предложены и другие доказательства, в том числе Леонардом Эйлером. Издавна ведутся записи, отмечающие наибольшие известные на то время простые числа. Один из рекордов вычисления принадлежал также Эйлеру — 2147482647 то есть 231–1.
Наибольшим известным простым числом по состоянию на январь 2019 года является число Мерсенна. Оно содержит 24 862 048 десятичных цифр; в книге с записью этого числа было бы около девяти тысяч страниц. Его нашли 7 декабря 2018 года в рамках проекта по распределённому поиску простых чисел GIMPS. Предыдущее самое большое известное простое число, открытое в декабре 2017 года, было на 1 612 623 знака меньше. За нахождение простых чисел из более чем 100000000 и 1000000000 десятичных цифр американский Фонд электронных рубежей (EFF) назначил денежные призы соответственно в 150000 и 250000 долларов!
Как же можно определить, является конкретное число простым или нет? Существуют специальные алгоритмы, которые призваны решить эту задачу, в арифметике они называются тестами простоты. Относительно недавно было доказано, что задача проверки на простоту разрешима в общем виде, но сам тест имеет большую вычислительную сложность. До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, в частности, так называемые четыре проблемы Эдмунда Ландау и проблема существования бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи, числа Ферма и т.д.
Первым к этой проблеме обратился еще один древнегреческий математик, Эратосфен. Он придумал способ «просеивания» — то есть не зачеркивал числа, которые были кратны 2,3,5 и т.д, а прокалывал над ними дырочки. Получалось что-то вроде решета, сквозь отверстия которого просеивались составные числа, а простые оставались. До сих пор этот способ получения таблицы простых чисел называется эратосфеновым решетом.
Многие энтузиасты-математики еще в первой половине ХХ века, когда еще не существовало калькуляторов и компьютеров, вручную пересчитывали гигантские ряды чисел, составляя таблицы простых чисел, наибольше из которых превышали миллион. Американец Дэррик Лемер в 1914 году опубликовал таблицу простых чисел от 2 до 10006721 (то есть до десяти миллионов!). Однако талантливый русский математик Иван Первушин задолго до американца Лемера составил собственную таблицу простых чисел от двух до десяти миллионов, и передал ее в дар Академии наук. К сожалению, она не была тогда опубликована, и долгое время считалось, что именно американскому математику принадлежит первенство.
Титаническую вычислительную работу выполнил профессор Пражского университета Якуб Филипп Кулик. Он довёл таблицы простых чисел до 100 миллионов (6 томов простых чисел и делителей составных). В начале 1930-х в Москве серьезно изучали труды математика-любителя по фамилии Хороший, который, не имея математического образования (вернее, окончив всего три класса школы), составил таблицы для нахождения простых делителей чисел до 10 миллионов! Примечательно, что математик-любитель Хороший работал в Москве продавцом в газетном киоске, и на работе у него было много времени возиться с числами. Тем не менее составленную им таблицу простых чисел за большие деньги приобрел Математический институт Академии наук!
Однако настоящей сенсацией в мировой математике стал метод, изобретенный учителем средней школы из города Кувшиново Калининской области еще в 1930-е годы. Василий Антонович Голубев разработал систему «трафаретов», которые применялись для определения, является ли число простым. Эти «трафареты» упрощали сложную и однообразную вычислительную работу, а главное – почти исключали возможность ошибок. При помощи своих «трафаретов» Голубев в 1939 году выделил наименьшие простые делители всех чисел 11-го миллиона, а в 1941 году — 12-го миллиона. Полученные таблицы он принёс в дар Академии наук СССР, как за несколько десятилетий до него поступил его предшественник Иван Первушин.
Вот что написано о Василии Голубеве в «Истории арифметики» Ивана Депмана: «Очень успешно в вопросах о простых числах работает учитель-пенсионер средней школы
города Кувшиново Василий Антонович Голубев. Им не просто составлены таблицы простых чисел одиннадцатого и двенадцатого миллионов, представленные в Математический институт Академии наук; Голубев нашел и указал ошибки в расчетах известного итальянского математика Полетти, который завещал выбить открытые им таблицы простых чисел на фронтоне своего дома».
Конечно, самое поразительное в этой истории – что переворот в современной математической науке совершил не просто наш земляк, а учитель обычной школы. К сожалению, мы очень мало знаем о жизни Василия Антоновича Голубева. Он родился в деревне Фомино нынешнего Торжокского района в 1891 году. В 1911 году окончил Торжокскую учительскую школу, где готовили преподавателей математики для сельских школ, и всю жизнь проработал по этой специальности. В 1935 году Василий Голубев окончил также Смоленский педагогический институт, а спустя еще год – заочный факультет Московского института иностранных языков – видимо, для того, чтобы читать статьи в иностранных математических журналах.
Педагогическую деятельность Голубев начал в 1911 году в Березкинском земском училище Вышневолоцкого уезда, после революции несколько лет работал в Яконовской школе Новоторжского уезда, а затем свыше тридцати лет – в средней школе города Кувшиново. Можно не сомневаться, что он был одним из самых известных в Кувшиново педагогов. Ведь его научные статьи по арифметике печатались в «Учёных записках» Калининского педагогического института, в польских, чешских, болгарских и бельгийских математических журналах. Скромный учитель из Кувшиново был признанным мировым авторитетом в области элементарной теории простых чисел, являлся автором около 600 научных работ и рефератов. Многие труды Голубева в том числе «Обобщение теоремы Дирихле о простых числах» (1958), «О группах простых чисел» (1958), «Число групп простых чисел и простых чисел степенных форм» (1962) и другие, опубликованы в США, Бельгии, Чехословакии, Австрии и иных странах.
Василий Антонович умер в Кувшинове в 1962 году и похоронен на городском кладбище. Он, несомненно, был выдающимся жителем Кувшиново, и хочется верить, что кувшиновцы хранят память о нем.
А что же простые числа? Они по-прежнему таят в себе немало тайн и не раскрывают полностью структуру своего строения. Математики всего мира по-прежнему бьются в поисках общей формулы, которая в зависимости от всевозможных целых значений величины n давала бы только простые числа. Но пока такая формула не далась учёным.
Владислав ТОЛСТОВ